Desigualdades Cuadráticas, Racionales y de Valor Absoluto

Como parte de poseso para poder resolver ecuaciones cuadráticas la arreglamos de modo que de un lado sea igual a cero, después de esto la factorizaremos 

x2+ x  2 > 0.

Comenzamos factorizando la expresi on cuadr atica pues uno de los lados es igual a

cero.

x2+ x  2 > 0

(x + 2)(x  1) > 0

Ahora resolvemos la ecuaci on (x + 2)(x  1) = 0. Tenemos que

x + 2 = 0 o x  1 = 0:

Obtenemos que x = 2 o x = 1. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: (; 2),

(2; 1), (1; 1). Sabemos que x = 2 y en x = 1 satisfacen la ecuaci on x2+ x  2 = 0. Deseamos

determinar el signo de la espresi on x2+ x  2 en los intervalos (; 2), (2; 1), (1; 1). Para

esto determinamos el signo de cada uno de los factores usando un valor de x en cada uno de los

intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. Por ejemplo, para determinar el

signo del factor x  2 en el intervalo (; 2) escogemos un valor de x que este en este intervalo,

digamos x = 3 y lo subustituimos en x  2. Obtenemos x  2 = 3  2 = 5. Luego x  2 es

negativo en el intervalo (; 2). Por otro lado x 1 = 3 1 = 4 por lo que x 1 es negativo

en el intervalo (; 2). Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. 

DESIGUALDADES RACIONALESEste tipo de desigualdades se hace de igual manera que las lineales y las cuadraticas, primero se iguala con 0 y seguido comiesan a hacerce las operaciones que vallan de acuerdo a lo que viene en la desigualdad.

Ejemplo:

3x+4 ≤ 7                                              -7x+11 ≤ 0

x-1                                                          x-1

3x+4-7(x-1) ≤ 0                                   -7x+11≤0

       x-1

3x+4-7x+7 ≤ 0                                      x ≥ 11/7

     x-1

Desigualdades Absolutas:

Para poder resolver este tipo de desigualdades debemos utilizar los metodos que ya aprendimos. Básicamente, el conjunto solución de una desigualdad con valor absoluto debe ser calculado utilizando dos posibilidades (por definición de valor absoluto) que cumplan con lo establecido, ejemplo: Si x > k , donde k > 0, entonces en el conjunto solución se incluyen todas las coordenadas en la línea que son mayores de k unidades del origen. 

 

Ejemplos: 

 |4x + 2| > 6. 

-6 > 4x+2                    4x+2 > 6

-6-2 > 4x                     4x > 6-2

-8 > 4x                        x >4/4

-8/4 > x                       x > 1

-2 > x

Desigualdades

Una desigualdad es una relación de orden entre dos valores cuando estos dos son distintos, y en el caso de que sean iguales se les llamaría igualdad.
Si los valores están dentro de un conjunto ordenado, ya sea de enteros o reales, pueden ser comparados.

Ejemplo:
 

Desigualdades Lineales

Son expresiones que indican que dos cantidades no son iguales ( >, <, ≤, ≥ ). Para resolverlas
utilizamos las propiedades de suma, resta, multiplicación y división que hemos aprendido.

Ejemplo:

3y −1≤ 2y −5.
3y-2y ≤ -5+1
y ≤ -4

Intervalos

Se le llama intervalos a los números comprendidos entre otros dos que son extremos del intervalo y estos intervalos se dividen en:
*Intervalo abierto es el conjunto de números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x   / a < x < b}

*Intervalo cerrado es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x   / a ≤ x ≤ b}

*Intervalo abierto por la izquierda conjunto de números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x   / a < x ≤ b}

*Intervalo abierto por la derecha conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x  / a ≤ x < b}

Otra nomenclatura utilizada para nombras mas de un intervalo es el signo U (union).

Orden de los Números Reales

En los números reales el orden es una relación extendida de los números racionales, y tiene formas en las cuales se pueden expresar y estas son:
Tricotomia: Cuando se comparan dos números a y b que cumplan con lo siguiente, a < b , a > b y
a = b .
Transitiva: Es cuando se comparan tres números a, b y c y que se podria explicar que si a < b y          b < c entonces a < c .

Ejemplo:
Tricotomia:                                            Transitiva:
2<9                                                       si 3<5
5>1                                                       si 5<10
3=3                                                       entonces 3<10