Matriz Unitaria

Matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos iguales a uno y todos los otros elementos son iguales a cero. Símbolo: I. También se le llama matriz identidad (para la multiplicación de matrices) porque cualquier matriz M con m filas y n columnas permanece sin cambios cuando se multiplica por una matriz unitaria n×n. Es decir,

IA = A

Matriz Inversa

Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A^-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

 

La matriz inversa de A es 

PRODUCTO DE MATRICES.

Se ha visto que dos matrices  A  y B  se pueden sumar si tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas. La manera de sumarlas es muy natural, se suman los elementos de cada matriz que tienen la misma posición y la matriz resultante tiene por tanto el mismo número de renglones y columnas que las matrices A  y  B.

Se podría pensar que la multiplicación de matrices fuera similar a la suma; que dos matrices A y B  se podrían multiplicar cuando tuvieran el mismo número de renglones y de columnas.  Que cada elemento de la matriz producto sería el producto de los elementos de las matrices A  y  B que tienen la misma posición. Sin embargo el producto de matrices no se define así.

Consideremos primero el producto de vectores.

Producto escalar.

Sean 

    y    

dos vectores del mismo número  de componentes.   El producto escalar de    y   ,  denotado   ,  se define por

El producto escalar es llamado también producto punto en referencia a la notación que se usa para representarlo. También se conoce como el producto interno. La razón por la que se llama producto escalar porque el resultado de este producto entre dos vectores, ya no es un vector, sino un escalar, esto es, un número.

Ejemplo

Calcule el producto escalar de los vectores 

 y   .

Calcule el producto escalar de los vectores  

  y    

Producto de dos matrices.  

Para definir el producto de dos matrices, considere una matriz  A de componentes   a_ij   de   m  renglones y n columnas, y otra matriz  B  de elementos  b_ij  de  n   renglones  y  p  columnas.  Observe que el número de columnas de  A  es  n  y es igual al número de  renglones de  B.

Note que el renglón  i   de  A  tiene el mismo número de elementos que la columna  j  de B.

Si denotamos con   C   a la matriz producto de  A y  B,  el elemento  c_ij  es  el producto escalar del vector  renglón  i   de  A  por  el vector columna   j   de B

                               

Esto es

                                

Ejemplo 3.

Calcule el producto de las matrices  

  y  

¿Se pueden multiplicar  A  y  B?  

 A es    y  B es  .   Si se pueden multiplicar porque el número de columnas de A  es igual al de renglones de  B.  

Cada elemento de la matriz producto  C = AB  es el resultado del producto escalar de un renglón de A por una columna de B:

De este modo

 

Siempre que colocamos un elemento en filas y columnas hacemos uso de una estructura matricial.

Por ejemplo, cualquier espectáculo en el que las entradas estén numeradas hace uso de este tipo de estructuras. Lo que se hace es dividir la Platea en filas y columnas. Si en nuestra entrada pone Fila 23, asiento 12 nos está indicando que la butaca está en la fila 23 y columna 12.

Cualquier tabla de las que utilizamos en los editores de texto no deja de ser una matriz, ya que está organizada por filas y columnas.

Ejemplo

Por ejemplo, la tabla

2	1	5	8
3	2	2	0
2	1	6	4

tiene 3 filas y 4 columnas. El número que ocupa la fila 2 y columna 4 es el cero.

Para que una tabla sea una matriz representativa de algún objeto matemático basta con que en cada celda pongamos algún valor numérico, le quitemos la cuadrícula y la encerremos entre dos grandes paréntesis

⎛⎝232121526804⎞⎠

Y ya tenemos una matriz de las que se utilizan habitualmente en matemáticas.

Tipos de matrices

Una matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas se dice que es una matriz cuadrada. Lo es, por ejemplo, la matriz

⎝341210234−58⎞⎠

y no es cuadrada una matriz como  

(3122−10)

La primera tiene tres filas y tres columnas y se dice que es una matriz 3×3. Se lee “tres por tres”. Para referirnos a la segunda, que tiene dos filas y tres columnas, hablamos de una matriz 2×3, matriz "dos por tres".

De manera que, en general, cuando se habla de una matriz m×n se está haciendo referencia a una matriz que tiene m filas y ncolumnas. Esta forma de referirse a las matrices no es más que un convenio y podría variar de un autor a otro.

Según esto una matriz m×n será cuadrada cuando m=n.

Notación

Las matrices suelen denotarse con letras mayúsculas

A=⎛⎝34121024−58⎞⎠; B=(3122−10)

También se utilizan letras para hacer referencia a los elementos que forman la matriz

⎛⎝adgbehcfi⎞⎠

Se comprende que cuando se trabaja con matrices muy grandes, por ejemplo de 100×200, es decir con 100 filas y 200 columnas (o más), la utilización de las letras del alfabeto no es práctica, por lo que se recurre a una notación del tipo aij en la que i representa la fila y j representa la columna en la que se encuentra el elemento en cuestión.

Ejemplo

Por ejemplo, en la matriz

(a11a21a12a22a13a23)=(23−1108)

el elemento a22=1 y el elemento a13=0.

Ejemplo

Comprobar el valor de los elementos siguientes en la matriz

a31=3, a25=4, a27=−1, a45=8

⎛⎝⎜⎜233246551877821354−8830018−138⎞⎠⎟⎟

Se define la matriz cero como aquella en la que todos sus elementos son 0, independientemente del número de filas y columnas que tenga.

Se dice que dos matrices son iguales cuando los son todos los elementos que la forman.

Ejemplo

000000000000000⎞

⎠                                  es una matriz nula o matriz cero.

Ejemplo

(1236)=(1236)

                                      son matrices iguales.