Historia de las matemáticas financieras:

Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que yo creo es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Mi instinto me dice que las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, creo que "alguien" se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.

-Aplicación & Funcionalidad:

Ante la pregunta: ¿Que preferiría usted, cobrar 1.000 hoy o 1.000 dentro de un mes? La respuesta parece obvia, 1.000 hoy. Pero si la pregunta fuese 1.000 hoy o 1.050 dentro de un mes? La respuesta no lo sería tanto. Dependería de la necesidad de la persona, pero también de cuanto podría ganar durante ese mes. De esta manera, si con 1.000 invertidos durante un mes pudiese obtener más de 50, al cabo de un mes tendría más de 1.050 por lo que preferiría cobrar 1.000 hoy e invertirlos por su cuenta. Si sólo pudiese obtener menos de 50, preferiría 1.050 dentro de un mes. Las matemáticas financieras van más allá y nos proveerán de las herramientas para poder contestar a la pregunta ¿cuanto valen hoy 1.050 que se cobrarán dentro de un mes?

Así, las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros (depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones, cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos, que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por tanto, en el estudio de las matemáticas financieras, abordaremos:

• Interés Simple
• Interés Compuesto
• Valor Futuro
• Valor Presente
• Renta Temporal
• Renta Infinita

Sin embargo, pese a que estas herramientas son la base de las matemáticas financieras, el avance en su investigación ha llevado hasta herramientas tremendamente sofisticadas como para la valoración de opciones, las matemáticas actuariales o las más diversas aplicaciones en la estadística y econometría.

Interés Simple

Normalmente se indica sobre una base anual. Cuando se indica sobre una base anual, es equivalente al tipo de interés anual efectivo. 

Cuando los intereses producidos por el capital prestado en cada uno de los sucesivos períodos de tiempo (períodos de devengo) se obtienen multiplicando el capital inicial por el tipo de interés. A diferencia del interés compuesto, en el interés simple los intereses de cada período de tiempo operación y no producen intereses en los períodos de tiempo siguientes. 

Rendimiento de un capital tomado a préstamo, sin que en el momento de percibirlo pueda agregarse esa remuneración a l principal para engrosar la base a la que aplicar el tipo de rédito .Simple interest. 

Por oposición al interés compuesto, es el rendimiento de un capital prestado que no se agrega al principal para producir nuevos intereses. Suele utilizarse en operaciones a corto plazo.

Es el que se calcula con base al monto del principal únicamente y no sobre elinterés devengado. El capital permanece constante durante ese término y el valor del interés y su peridiocidad de pago será siempre el mismo hasta el vencimiento.

El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :

I = C · i · t

donde i está expresado en tanto por uno y t en años.

*Ejercicios:

1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Solucion:
Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06

I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t

El interés es de 6 000 pesos

2. Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

Solución:

? = C·i·t

Interés Compuesto

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (C_f).

Para un período determinado sería

Capital final (C_f) = capital inicial (C) más los intereses.

 Cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Año	Depósito inicial	Interés	Saldo final
0 (inicio)	$1.000.000	($1.000.000 x 10% = ) $100.000	$1.100.000
1	$1.100.000	($1.100.000 × 10% = ) $110.000	$1.210.000
2	$1.210.000	($1.210.000× 10% = ) $121.000	$1.331.000
3	$1.331.000	($1.331.000 × 10% = ) $133.100	$1.464.100
4	$1.464.100	($1.464.100 × 10% = ) $146.410	$1.610.510
5	$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (C_f), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

 i se expresa en forma decimal ya que corresponde a.
Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):

Sacamos factor común  C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de C_f:

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!

Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc.,  solo hay que convertir éstos a años.

Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en forma mensual, en ese caso i  debe dividirse por 12 . En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).

Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):

Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo:

será igual a

Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia  t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).

Del siguiente modo:

será igual a

En  general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula que es igual a .   La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor  de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

será igual a

*Ejemplos:

1.-Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. 

  Solución: 

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de interés compuesto 

Capital inicial 

Tiempo en años (t) = 5

Respuesta:

El capital final es de 1.763.194 pesos.
  

  2.-Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.
  Solución:

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 1.583.945

En tasa de interés compuesto
Tiempo en años (t) = 7

Despejando C:

Respuesta:

Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos.
  

  3.-Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2.360.279 pesos.
  Solución:

Aplicando la fórmula 

Reemplazamos los valores conocidos:

Capital inicial (C ) = 1.500.000

Capital final (Cf) = 2.360.279

Tiempo en años (t) = 4

Reemplazamos con los valores conocidos:

Despejamos (1 + i)⁴

Redondeamos a 0,12 y multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa como 

0,12 • 100 = 12 %

Respuesta:

La tasa de interés compuesto anual ha sido de 12 %.

Anualidades. Pagos Vencidos & Anticipados

Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales 

de tiempo. 

No necesariamente se refiere a periodos anuales, se ha conservado el 

nombre de anualidad por costumbre en dichas operaciones; pero ejemplos de anualidades son: 

 Pagos mensuales por la renta de un local o departamento 

Cobro quincenal de sueldos 

Pagos anuales a las pólizas de seguro 

Intervalo o periodo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro. 

Plazo: Tiempo que trascurre entre el primer pago y el último. 

Tipos de anualidades. 

La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Conviene por ello clasificarlas de acuerdo con diversos criterios:

a) Tiempo: Ciertas, contingentes
b)Intereses: Simples, generales
c) Pagos: Vencidas, anticipadas
d) Iniciación: Inmediatas, diferidas
Anualidad Vencida. También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica,se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Anualidad Anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cadaperiodo.
De todos los tipos de anualidades las más comunes son las simples, ciertas, vencidas en inmediatas.

Los elementos que intervienen en éste tipo de anualidades son:
 La renta o pago porperiodo R
El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presente. C

 El valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagosal final de la operación. Mn en los elementos de las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas, por lo tanto se clasifican de la siguiente manera. 

Otra simbología muy utilizada es (F/A, n, i) que significa valor futuro dada una anualidad de n periodos a la tasa i . 

Para plantear la ecuación de valor, se aplica la fórmula:

S= p(1+i)ⁿ

A cada pago, pero, en cada caso, p= 1. El pago que esta en el punto 1 se traslada por n-1 periodos, el que está en 2, por n-2 periodos y así sucesivamente, hasta que se llegue al pago que esta en n el cual no se traslada por estar en la fecha focal, entonces se tiene:

(F/A, n, i)=S n¬i =  (1 + i )ⁿ -1/ i  

La diferencia entre las dos anualidades estriba en que la serie de la anualidad ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i)n-1 , en cambio la serie de la anualidad anticipada comienza con (1+i) y termina con (1+i)n

• El valor presente: Este se representa por el símbolo a n¬i o por (P/A, n, i), que significa el presente de una anualidad en n periodos a la tasa i. Se representa por la fórmula:

                           (P/A, n, i)=a n¬i =   1 -(1 + i )-ⁿ / i   

*Ejemplos.

1.-Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Si este documento se cancela con un solo pago de A) Al principio o B) al final. Determinar $A y $S suponiendo un interés del 32% CT.

SOLUCIÓN: El número de pagos es n= 4 X 6= 24, R= $80.000

             A)  i= 32/4= 8% efectivo trimestral

                  A= 80.000 (P/A, 24, 8%) 

                  A= 80.000* 1 -(1 +0.08 )^-24 /0.08   

                  A= 842.301

    

             B) S= 80.000 (F/A, 24, 8%) 

                 S= 80.000* (1 +0.08 )²⁴ -1/ 0.08   

                 S= 5.341.181

2.-Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pagos uniformes de $R c/u. Con una tasa del 2% efectivo para el periodo, hallar el valor de la cuota situando  A) la fecha focal hoy y B) la fecha focal en doce meses.

SOLUCIÓN: 

               A) 50.000= R a 12¬2%

                   R= 4727.98

               B) 50.000 (1.02)¹² = R S 12¬2%

                   R= 4.727.98

Anualidades anticipadas:

Las anualidades anticipadas se representa por la ecuación:

¨S n¬i =  S n¬i (1 + i ) Para valor final

ä n¬i =  a n¬i (1 + i ) Para valor presente

3.-Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el

2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?

SOLUCIÓN:

                  X= 50.000¨S 12¬2%(1.02)

                  X= 684.016.58

Operaciones de sistemas de numeración 

Para los números escritos en el sistema decimal empleamos las reglas de adición y multiplicación «en columna» y de división «en ángulo». Estas mismas reglas son válidas también para los números escritos en cualquier otro sistema.
Consideremos la adición. Tanto en el sistema decimal como en otro cualquiera,sumamos primero las unidades, pasamos luego al orden siguiente, etc., hasta llegar al mayor de los órdenes, con la particularidad de que se hace un traslado al orden siguiente cada vez que en un orden se obtiene una suma mayor o igual a la base del sistema empleado. Por ejemplo,

(1)	(23651)8
+	(17043)8
	(42714)8

(2)	(423)8
+	(1341)8
	(521)8
	(3120)8

Pasemos a la multiplicación. Para concretar, escojamos un sistema determinado,por ejemplo, el sexagenario. La multiplicación de los números se basa en la tabla de multiplicar que ofrece el producto de los números menores que la base del sistema de numeración. Es fácil comprobar que la tabla de multiplicar  sexagenario es

	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	10	12	14
3	0	3	10	13	20	23
4	0	4	12	20	24	32
5	0	5	14	23	32	41

En cada célula aparece aquí el producto de los números que corresponden a la fila y a la columna de esta célula con la particularidad de que todos los números se escriben en el sistema sexagenario (hemos omitido el subíndice correspondiente para no complicar la tabla).
Valiéndoles de esta tabla podemos multiplicar fácilmente «en columna» los números de tantos órdenes como se quiera. Por ejemplo

La división «en ángulo» también se puede realizar en cualquier sistema de numeración. Consideremos, por ejemplo, el problema siguiente: divisase (120101)₃ por (102)₃. He aquí la solución:

(Escríbanse el dividiendo, el divisor, el cociente y el resto en el sistema decimal y verificarse el resultado).
Problema 1. En la Pizarra se ha conservado una fórmula incompleta

¿En qué sistema de numeración están escritos los sumando y la suma?
Respuesta. En el sistema septenario.
Problema 2. Al preguntarle cuántos alumnos había en su clase un maestro respondió: «100 alumnos y de ellos 24 varones y 36 hembras». Primero la respuesta nos extrañó, pero luego comprendimos que el maestro no empleó el sistema decimal. ¿Cuál había empleado?
La solución de este problema es sencilla. Seaxla base del sistema correspondiente. Entonces las palabras del maestro significan que tiene x ² alumnos de los cuales 2x+ 4 son varones y 3x+ 2 hembras. Por lo tanto,

2x+ 4 + 3x+ 2 =x ² 

o sea.

x ²- 5x- 6 = 0,

de donde

es decir,

x ₁= 6 yx ₂= -1.

Puesto que -1 no puede ser base del sistema de numeración, resulta que x= 6. Luego, el maestro dio su respuesta en el sistema sexagenario; tenía 36 alumnos, de ellos 16 varones y 20 hembras.

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Lógica matemática y Tablas de la verdad

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente,  y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.

En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

Desarrollo.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias  física  y  naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones y operaciones lógicas.

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

p:         La tierra es plana.

q:         -17 + 38 = 21

r:          x > y-9

s:         El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t:          Hola ¿como estas?

w:         Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El  inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

                        p =  q Ù r

Su tabla de verdad es como sigue:

q	r	p = q Ù r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 Donde.

 1 =  verdadero

 0 =  falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

  Operador Or (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se eindica por medio de los siguientes símbolos: {Ú,+,È}. Se conoce como las suma lógica. Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.

p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

q	r	p = q Ù r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

q	r	La única manera en la que no puede ingresar al cine (p=0), es que no compre su boleto (q=0)  y que no obtenga un pase (r=0).  p =q Ú r
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Operador Not (no)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, Ø,-}. Ejemplo.

	La negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo en este momento (p’=0)

  

p	p’
1	0
0	1

Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso.

En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos. Ejemplo

Sean las proposiciones:

p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

r: Aprobaré el curso.

El enunciado: “Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso”. Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

p Ù qÚ r

Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Proposiciones condicionales.

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p ® q                Se lee “Si p entonces q”

Ejemplo.

El candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República  recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean

p: Salió electo Presidente de la República.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p ® q

Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

p	q	p ® q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo,  q=1 y  recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p ® q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que  p ® q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió  de tal forma que  p ® q =1.

Proposición bicondicional.

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera:

p « q                Se lee “p si solo si q”

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

“Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez”

Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

por lo tanto su tabla de verdad es.

p	q	p « q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

	La proposición condicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas

A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos.

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “Si  no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y  Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado.  Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

(p’ ® q) Ù [p ® (rÚs) ] Ù [(rÙ s) ® t’ ] « w

Tablas de verdad.

En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q).

p	q	r	q’	p®q	(q’Ùr)	(p®q)Ú (q’Ùr)	r®q	[(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q)
0	0	0	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	0	1	1	0	0
1	1	0	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0	1	1	1

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2n            Donde n = número de variables distintas.

Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo.

Tautología y contradicción.

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad  de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

p	q	p’	q’	p®q	q’®p’	(p®q)«(q’®p’)
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1	1

Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró..

            1.- Doble negación.

                        a).        p''Ûp

           

            2.- Leyes conmutativas.

                        a).        (pÚq)Û(qÚp)

                        b).        (pÙq)Û(qÙp)

                        c).        (p«q)Û(q«p)

            3.- Leyes asociativas.

                        a).        [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

                        b.         [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

            4.- Leyes distributivas.

                        a).        [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

                        b.         [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

            5.- Leyes de idempotencia.

                        a).        (pÚp)Ûp

                        b).        (pÙp)Ûp

            6.- Leyes de Morgan

                        a).        (pÚq)'Û(p'Ùq')

                        b).        (pÙq)'Û(p'Úq')

                        c).        (pÚq)Û(p'Ùq')'

                        b).        (pÙq)Û(p'Úq')'

            7.- Contrapositiva.

                        a).        (p®q)Û(q'®p')

            8.- Implicación.

                        a).        (p®q)Û(p'Úq)

                        b).        (p®q)Û(pÙq')'

                        c).        (pÚq)Û(p'®q)

                        d).        (pÙq)Û(p®q')'

                        e).        [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

                        f).         [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

            9.- Equivalencia

                        a).        (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

            10.- Adición.

                        a).        pÞ(pÚq)

            11.- Simplificación.

                        a).        (pÙq)Þp

            12.- Absurdo

                        a).        (p®0)Þp'

            13.- Modus ponens.

                        a).        [pÙ(p®q)]Þq

            14.- Modus tollens.

                        a).        [(p®q)Ùq']Þp'

            15.- Transitividad del «

                        a).        [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

            16.- Transitividad del ®

                        a).        [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

            17.- Mas implicaciones lógicas.

                        a).        (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                        b).        (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]

                        c).        (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

            18.- Dilemas constructivos.

                        a).        [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

                        b).        [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

Contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es pÙp’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

p	p’	pÙp’
0	1	0
1	0	0

Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

 La proposición pÙp’ equivale a decir que “La puerta es verde y la puerta no es verde”. Por lo tanto se esta contradiciendo o se dice que es una falacia.

Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado 1s y 0s se le llama contingente.

Equivalencia lógica.

Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los mismo valores de verdad. Se indican como p º q.

Considero que un buen ejemplo es el que se estableció para ilustrar la tautología en donde se puede observar que las columnas de (p®q)  y  (q’®p’) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que (p®q)  º (q’®p’)

Reglas de inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos se les llama reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en una demostración.

Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

               Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.

               Si se hace usted rico, entonces será feliz.

               ____________________________________________________

            \Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de valores.

q: Se hará rico.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

               p ® q

               q ® r

               ______

            \ p ® r