Operaciones de sistemas de numeración
Para los números escritos en el sistema decimal empleamos
las reglas de adición y multiplicación «en columna» y de división «en ángulo».
Estas mismas reglas son válidas también para los números escritos en cualquier
otro sistema.
Consideremos la adición. Tanto en el sistema decimal como en otro cualquiera,sumamos primero las unidades, pasamos luego al orden siguiente, etc., hasta llegar al mayor de los órdenes, con la particularidad de que se hace un traslado al orden siguiente cada vez que en un orden se obtiene una suma mayor o igual a la base del sistema empleado. Por ejemplo,
Consideremos la adición. Tanto en el sistema decimal como en otro cualquiera,sumamos primero las unidades, pasamos luego al orden siguiente, etc., hasta llegar al mayor de los órdenes, con la particularidad de que se hace un traslado al orden siguiente cada vez que en un orden se obtiene una suma mayor o igual a la base del sistema empleado. Por ejemplo,
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(1)
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(23651)8
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+
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(17043)8
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(42714)8
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(2)
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(423)8
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+
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(1341)8
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(521)8
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(3120)8
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Pasemos a la multiplicación. Para concretar, escojamos un sistema determinado,por ejemplo, el sexagenario. La multiplicación de los números se basa en la tabla de multiplicar que ofrece el producto de los números menores que la base del sistema de numeración. Es fácil comprobar que la tabla de multiplicar sexagenario es
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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0
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1
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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2
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0
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2
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4
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10
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12
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14
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3
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0
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3
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10
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13
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20
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23
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4
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0
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4
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12
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20
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24
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32
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5
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0
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5
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14
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23
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32
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41
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En cada célula aparece aquí el producto de los números que corresponden a la fila y a la columna de esta célula con la particularidad de que todos los números se escriben en el sistema sexagenario (hemos omitido el subíndice correspondiente para no complicar la tabla).
Valiéndoles de esta tabla podemos multiplicar fácilmente «en columna» los números de tantos órdenes como se quiera. Por ejemplo
La división «en ángulo» también se puede realizar en cualquier sistema de numeración. Consideremos, por ejemplo, el problema siguiente: divisase (120101)3 por (102)3. He aquí la solución:
(Escríbanse el dividiendo, el divisor, el cociente y el resto en el sistema decimal y verificarse el resultado).
Problema 1. En la Pizarra se ha conservado una fórmula incompleta
¿En qué sistema de numeración están escritos los sumando y la suma?
Respuesta. En el sistema septenario.
Problema 2. Al preguntarle cuántos alumnos había en su clase un maestro respondió: «100 alumnos y de ellos 24 varones y 36 hembras». Primero la respuesta nos extrañó, pero luego comprendimos que el maestro no empleó el sistema decimal. ¿Cuál había empleado?
La solución de este problema es sencilla. Seaxla base del sistema correspondiente. Entonces las palabras del maestro significan que tiene x 2 alumnos de los cuales 2x+ 4 son varones y 3x+ 2 hembras. Por lo tanto,
2x+ 4 + 3x+ 2 =x 2
o sea.
x 2- 5x-
6 = 0,
de donde
es decir,
x 1= 6 yx 2=
-1.
Puesto que -1 no puede ser base del sistema de numeración, resulta que x= 6. Luego, el maestro dio su respuesta en el sistema sexagenario; tenía 36 alumnos, de ellos 16 varones y 20 hembras.
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