Historia de las matemáticas financieras:
Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que yo creo es que se dieron como un desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales en la época del feudalismo en Europa. Mi instinto me dice que las matemáticas financieras aparecieron inicialmente con los intereses, creo que "alguien" se dio cuenta que si otro le debía dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta persona tardara en cancelar la deuda.-Aplicación & Funcionalidad:
Ante la pregunta: ¿Que preferiría usted, cobrar 1.000 hoy o 1.000 dentro de un mes? La respuesta parece obvia, 1.000 hoy. Pero si la pregunta fuese 1.000 hoy o 1.050 dentro de un mes? La respuesta no lo sería tanto. Dependería de la necesidad de la persona, pero también de cuanto podría ganar durante ese mes. De esta manera, si con 1.000 invertidos durante un mes pudiese obtener más de 50, al cabo de un mes tendría más de 1.050 por lo que preferiría cobrar 1.000 hoy e invertirlos por su cuenta. Si sólo pudiese obtener menos de 50, preferiría 1.050 dentro de un mes. Las matemáticas financieras van más allá y nos proveerán de las herramientas para poder contestar a la pregunta ¿cuanto valen hoy 1.050 que se cobrarán dentro de un mes?
Así, las matemáticas financieras se ocuparán del cálculo del valor, tipo de interés o rentabilidad de los distintos productos que existen en los mercados financieros (depósitos, bonos, préstamos, descuento de papel, valoración de acciones, cálculos sobre seguros, etc). Para presentarlas, se seguirá un proceso secuencial desde lo más sencillo, el tipo de interés simple, hasta los cálculos más complejos, que consistirán en el valor actual o futuro de rentas temporales y/o infinitas. Por tanto, en el estudio de las matemáticas financieras, abordaremos:
Sin embargo, pese a que estas herramientas son la base de las matemáticas financieras, el avance en su investigación ha llevado hasta herramientas tremendamente sofisticadas como para la valoración de opciones, las matemáticas actuariales o las más diversas aplicaciones en la estadística y econometría.
Interés Simple
Normalmente se indica sobre una base anual. Cuando se indica sobre una base anual, es equivalente al tipo de interés anual efectivo.
Cuando los intereses producidos por el capital prestado en cada uno de los sucesivos períodos de tiempo (períodos de devengo) se obtienen multiplicando el capital inicial por el tipo de interés. A diferencia del interés compuesto, en el interés simple los intereses de cada período de tiempo operación y no producen intereses en los períodos de tiempo siguientes.
Cuando los intereses producidos por el capital prestado en cada uno de los sucesivos períodos de tiempo (períodos de devengo) se obtienen multiplicando el capital inicial por el tipo de interés. A diferencia del interés compuesto, en el interés simple los intereses de cada período de tiempo operación y no producen intereses en los períodos de tiempo siguientes.
Rendimiento de un capital tomado a préstamo, sin que en el momento de percibirlo pueda agregarse esa remuneración a l principal para engrosar la base a la que aplicar el tipo de rédito .Simple interest.
Por oposición al interés compuesto, es el rendimiento de un capital prestado que no se agrega al principal para producir nuevos intereses. Suele utilizarse en operaciones a corto plazo.
Es el que se calcula con base al monto del principal únicamente y no sobre elinterés devengado. El capital permanece constante durante ese término y el valor del interés y su peridiocidad de pago será siempre el mismo hasta el vencimiento.
Es el que se calcula con base al monto del principal únicamente y no sobre elinterés devengado. El capital permanece constante durante ese término y el valor del interés y su peridiocidad de pago será siempre el mismo hasta el vencimiento.
El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :
I = C · i · t
donde i está expresado en tanto por uno y t en años.
*Ejercicios:
Solucion:
Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06
I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t
El interés es de 6 000 pesos
2. Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.
Solución:
? = C·i·t
Interés Compuesto
El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf).
Para un período determinado sería
Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses.
Cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).
| Año |
Depósito inicial
|
Interés
|
Saldo final
|
0 (inicio)
|
$1.000.000
|
($1.000.000 x 10% = ) $100.000
|
$1.100.000
|
1
|
$1.100.000
|
($1.100.000 × 10% = ) $110.000
|
$1.210.000
|
2
|
$1.210.000
|
($1.210.000× 10% = ) $121.000
|
$1.331.000
|
3
|
$1.331.000
|
($1.331.000 × 10% = ) $133.100
|
$1.464.100
|
4
|
$1.464.100
|
($1.464.100 × 10% = ) $146.410
|
$1.610.510
|
5
|
$1.610.510
|
Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.
Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:
En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:
i se expresa en forma decimal ya que corresponde a
.
Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.
.Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.
Como corolario a esta fórmula:
A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):
Sacamos factor común C:
También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de Cf:
En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.
Periodos de interés compuesto
El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!
Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., solo hay que convertir éstos a años.
Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en forma mensual, en ese caso i debe dividirse por 12 
. En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).
debe dividirse por 12 . En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).
Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):
Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo:
será igual a
Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).
Del siguiente modo:
será igual a
En general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula que es igual a 
. La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:
que es igual a . La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:será igual a
*Ejemplos:
1.-Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.
Solución:
Aplicando la fórmula
Aplicando la fórmula
Reemplazamos con los valores conocidos:
En tasa de interés compuesto 
Capital inicial 
Tiempo en años (t) = 5
Respuesta:
El capital final es de 1.763.194 pesos.
2.-Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.
Solución:
Aplicando la fórmula
Reemplazamos con los valores conocidos:
Capital final (Cf) = 1.583.945
En tasa de interés compuesto
Tiempo en años (t) = 7
Tiempo en años (t) = 7
Despejando C:
Respuesta:
Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos.
Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos.
3.-Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2.360.279 pesos.
Solución:
Aplicando la fórmula
Reemplazamos los valores conocidos:
Capital inicial (C ) = 1.500.000
Capital final (Cf) = 2.360.279
Tiempo en años (t) = 4
Reemplazamos con los valores conocidos:
Despejamos (1 + i)4
Redondeamos a 0,12 y multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa como
0,12 • 100 = 12 %
Respuesta:
La tasa de interés compuesto anual ha sido de 12 %.
Anualidades. Pagos Vencidos & Anticipados
Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales
de tiempo.
No necesariamente se refiere a periodos anuales, se ha conservado el
nombre de anualidad por costumbre en dichas operaciones; pero ejemplos de anualidades son:
Pagos mensuales por la renta de un local o departamento
Cobro quincenal de sueldos
Pagos anuales a las pólizas de seguro
Intervalo o periodo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro.
Plazo: Tiempo que trascurre entre el primer pago y el último.
Tipos de anualidades.
La variación de los elementos que intervienen en las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas. Conviene por ello clasificarlas de acuerdo con diversos criterios:
a) Tiempo: Ciertas, contingentesb)Intereses: Simples, generales
c) Pagos: Vencidas, anticipadas
d) Iniciación: Inmediatas, diferidas
Anualidad Vencida. También se le conoce como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica,se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Anualidad Anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cadaperiodo.
De todos los tipos de anualidades las más comunes son las simples, ciertas, vencidas en inmediatas.
Los elementos que intervienen en éste tipo de anualidades son:
La renta o pago porperiodo R
El valor actual o capital de la anualidad. Es el valor total de los pagos en el momento presente. C
El valor en el momento de su vencimiento, o monto. Es el valor de todos los pagosal final de la operación. Mn en los elementos de las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas, por lo tanto se clasifican de la siguiente manera.
Otra simbología muy utilizada es (F/A, n, i) que significa valor futuro dada una anualidad de n periodos a la tasa i .
Para plantear la ecuación de valor, se aplica la fórmula:
S= p(1+i)n
A cada pago, pero, en cada caso, p= 1. El pago que esta en el punto 1 se traslada por n-1 periodos, el que está en 2, por n-2 periodos y así sucesivamente, hasta que se llegue al pago que esta en n el cual no se traslada por estar en la fecha focal, entonces se tiene:
(F/A, n, i)=S n¬i = (1 + i )n -1/ i
La diferencia entre las dos anualidades estriba en que la serie de la anualidad ordinaria empieza con 1 y termina con (1+i)n-1 , en cambio la serie de la anualidad anticipada comienza con (1+i) y termina con (1+i)n
- El valor presente: Este se representa por el símbolo a n¬i o por (P/A, n, i), que significa el presente de una anualidad en n periodos a la tasa i. Se representa por la fórmula:
(P/A, n, i)=a n¬i = 1 -(1 + i )-n / i
*Ejemplos.
1.-Un documento estipula pagos trimestrales de $80.000 durante seis años. Si este documento se cancela con un solo pago de A) Al principio o B) al final. Determinar $A y $S suponiendo un interés del 32% CT.
SOLUCIÓN: El número de pagos es n= 4 X 6= 24, R= $80.000
A) i= 32/4= 8% efectivo trimestral
A= 80.000 (P/A, 24, 8%)
A= 80.000* 1 -(1 +0.08 )-24 /0.08
A= 842.301
B) S= 80.000 (F/A, 24, 8%)
S= 80.000* (1 +0.08 )24 -1/ 0.08
S= 5.341.181
2.-Una deuda de $50.000 se va a cancelar mediante doce pagos uniformes de $R c/u. Con una tasa del 2% efectivo para el periodo, hallar el valor de la cuota situando A) la fecha focal hoy y B) la fecha focal en doce meses.
SOLUCIÓN:
A) 50.000= R a 12¬2%
R= 4727.98
B) 50.000 (1.02)12 = R S 12¬2%
R= 4.727.98
Anualidades anticipadas:
Las anualidades anticipadas se representa por la ecuación:
¨S n¬i = S n¬i (1 + i ) Para valor final
ä n¬i = a n¬i (1 + i ) Para valor presente
3.-Una persona arrienda una casa en $50.000 pagaderos por mes anticipado. Sí tan pronto como recibe el arriendo lo invierte en un fondo que le paga el
2% efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final del año?
SOLUCIÓN:
X= 50.000¨S 12¬2%(1.02)
X= 684.016.58
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