PRODUCTO DE MATRICES.
Se ha visto que dos
matrices A y B se pueden sumar si
tienen el mismo número de renglones y el mismo número de columnas. La manera de
sumarlas es muy natural, se suman los elementos de cada matriz que tienen la
misma posición y la matriz resultante tiene por tanto el mismo número de
renglones y columnas que las matrices A y B.
Se podría pensar
que la multiplicación de matrices fuera similar a la suma; que dos matrices A y B se
podrían multiplicar cuando tuvieran el mismo número de renglones y de
columnas. Que cada elemento de la matriz producto sería el producto
de los elementos de las matrices A y B que
tienen la misma posición. Sin embargo el producto de matrices no se define
así.
Consideremos
primero el producto de vectores.
Producto
escalar.
Sean
y 
dos vectores del
mismo número de componentes. El producto escalar
de 
y 
, denotado 
, se define por
y , denotado , se define por
El producto escalar
es llamado también producto punto en referencia a la notación que se
usa para representarlo. También se conoce como el producto interno. La
razón por la que se llama producto escalar porque el resultado de este producto
entre dos vectores, ya no es un vector, sino un escalar, esto es, un número.
Ejemplo
Calcule el producto
escalar de los vectores
y 
.
Calcule el producto
escalar de los vectores
y 
Producto de
dos matrices.
Para definir el
producto de dos matrices, considere una matriz A de
componentes aij de m renglones
y n columnas, y otra matriz B de
elementos bij de n renglones y p columnas. Observe
que el número de columnas de A es n y
es igual al número de renglones de B.
Note que el renglón i de A tiene
el mismo número de elementos que la columna j de B.
Si denotamos
con C a la matriz producto de A y B, el
elemento cij es el producto
escalar del vector renglón i de A por el
vector columna j de B
Esto es
Ejemplo 3.
Calcule el producto
de las matrices
y 
¿Se pueden
multiplicar A y B?
A es 
y B es 
. Si se pueden multiplicar porque
el número de columnas de A es igual al de renglones
de B.
y B es . Si se pueden multiplicar porque
el número de columnas de A es igual al de renglones
de B.
Cada elemento de la
matriz producto C = AB es el resultado del producto
escalar de un renglón de A por una columna de B:
De este modo
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